Target G-cet
આપણે બે-ત્રણ પ્રકારની શ્રેણીઓ અને તેને લગતા કોન્સેપ્ટ જોઈએ.
અમુક શ્રેણીઓ હળવે હળવે આગળ વધતી હોય. જેમ કે ૧, ૨, ૩, ૪, ૫..... અથવા ૩, ૭, ૧૧, ૧૫, ૧૯..... આવી શ્રેણીને ARITHMETIC PROGRESSION કહેવાય. અમુક શ્રેણી કૂદકે અને ભૂસકે આગળ વધતી હોય જેમ કે ૧, ૩, ૯, ૨૭, ૮૧.... આવી શ્રેણીને GEOMETRIC PROGRESSION (GP) કહેવાય. આ અંકમાં આપણે APના concepts જોઈશું. APની ગમે તેટલી Term લ્યો (દા.ત. ૩, ૭, ૧૧, ૧૫, ૧૯.... ની શ્રેણીમાં પહેલી Term ૩ છે અને પાંચમી Term ૧૯ છે) અને તેમાંથી તેની તુરંત જ પહેલાંની Term બાદ કરો તો જે પરિણામ આવે તે આખી શ્રેણીમાં એકસરખું જ રહે. દાખલા તરીકે ૩, ૭, ૧૧, ૧૫, ૧૯, ૨૩, ૨૭..... ની ૯મી Term ૩૫ હશે અને નવમી Term (એટલે કે ૩૫)માંથી આઠમી Term (એટલે કે ૩૧) બાદ કરો તો જવાબ ૪ આવે અને ૩જી ટર્મ (એટલે કે ૧૧) માંથી બીજી ટર્મ (એટલે કે ૭) બાદ કરો તો પણ જવાબ ૪ આવે. આથી કોઈ પણ શ્રેણીમાં ગમે તે Term અને તેની તુરંત પહેલાંની Term વચ્ચે તફાવત એકસરખો જ હોય તો તેને AP કહેવામાં આવે છે.
કોઈ પણ APમાં બે જ અજ્ઞાત વસ્તુઓ હોય છે : (૧) પહેલી Term અને (૨) સતત રહેતો તફાવત. કોઈ મને પૂછે છે કે એક AP ની પહેલી Term ૭ છે અને સતત રહેતો તફાવત (હવે પછી આપણે તેને 'તફાવત' કહેશું એટલી હાંફ ઓછી ચઢે) ૫ છે, તો તે AP ની ૧૩મી Term શું હશે તો આવી શ્રેણીની Terms કડકડાટ મોઢે કહી શકાય, કારણ કે પહેલી Term ૭ હોય અને તફાવત ૫ હોય તો બીજી Term ૭ + ૫, ત્રીજી થઈ ૭ + (૫ ટ ૨), ચોથી થઈ ૭ + (૫ ટ ૩) અને તેમ કરતાં તેરમી થઈ ૭ + (૫ ટ૧૨) એટલે કે ૬૭. અરે તેરમી શું, ત્રણસો તેરમી Term પણ મનમાં ગણી શકાય. માટે જ કોઈ પણ AP ને Nth Term (એટલે કે ગમે તેટલામી Term) પહેલી Term + (N -1) ટ તફાવત. તો કોઈ તમને પૂછે કે એક AP ની સત્યાવીસમી Term ૫૫ છે અને તફાવત ૨ નો છે તો તે શ્રેણીની પાંત્રીસમી Term શું થાય તો જવાબ હાજર છે : સત્યાવીસમી Term એટલે પહેલી Term + (૨૬ ટ તફાવત) = પહેલી Term + (૨૬ ટ ૨) = પહેલી Term + ૫૨ = ૫૫ જેથી પહેલી Term = ૩ અને પાંત્રીસમી Term = પહેલી Term + ( ૩૪ ટ તફાવત) = ૩ + (૩૪ ટ ૨) = ૩ + ૬૮ = ૭૧.
કોઈ આપણને પૂછે કે ૧, ૭, ૧૩, ૧૯..... ની AP માં ૩૭૯ કેટલામી Term છે તો ધારો કે ૩૭૯ Nth Term હોય તો ૩૭૯ = ૧ + (N -૧) ટ ૬ અને N -૧ = ૬૩ એટલે કે N = ૬૪. મતલબ ૧, ૭, ૧૩, ૧૯.....ની APની ૬૪મી Term ૩૭૯ હશે તે પાક્કું.
હવે APની ગમે તેટલી સુધીનો સરવાળો કેવી રીતે ફટાક દેતાંને શોધી શકાય? ધારો કે એક APની પહેલી Term (First Term) F છે અને તફાવત (Different) D છે તો તે શ્રેણી આ પ્રમાણે થશે.
F, F+ D,F + 2D, F + 3D, F+4D, F + 5D, F + 6D .... આવી શ્રેણીની પહેલી Term સુધીનો સરવાળો પહેલી Term પોતે જ હશે. બે Term સુધીનો સરવાળો ૨હ્લ + ડ્ઢ, ત્રણ સુધીનો સરવાળો 3F + (D + 2D) એટલે કે 3F + D (૧ + ૨) અને પાંચ Term સુધીનો સરવાળો F5 + D + 2D + 3D + 4D એટલે કે 5F + D(૧ + ૨ + ૩ + ૪). માટે જ કોઈ પણ APની N Term નો સરવાળો N x F + D(1+ 2+ 3 + 4...... N - 1) થાય. એટલે કોઈ પૂછે કે ૩, ૫, ૭, ૯, ૧૧, ૧૩, ૧૫... ની AP ની પહેલી અગિયાર નો સરવાળો શું થાય તો ફટ દઈને કહેવાય કે ૧૧ ટ ૩ + ૨ (૧+૨+૩+૪ ...૧૦) એટલે કે ૩૩ + ૧૧૦ = ૧૪૩.
આપણે પૂર્વ પેપરમાંથી છઁને લગતો આ દાખલો જોઈએ.
lf the sum of n terms of an AP is 5n^2+ 3n, which of the following series would qualify to be such a series? (1) 8, 18, 28, (2) 5, 15, 25 (3) 8, 18, 34 (4) None
of these.
કોઈ પણ APમાં પહેલી Term હોય જ. જ્યારે n Term ની વાત કરીએ તો APના શ્રીગણેશ પહેલી TersTથી જ થાય. પહેલી Term માં હ = ૧ અને પહેલી Term સુધીનો સરવાળો એટલે પહેલી Term પોતે જ. માટે જ્યારે ૧ હોય ત્યારે પહેલી Term થાય ૫ + ૩ = ૮. જ્યારે હ = ૨, ત્યારે બીજી ટર્મ સુધીનો સરવાળો થાય (૫ટ૪) + (૩ટ૨) = ૨૬. બીજી Term સુધીનો સરવાળો = પહેલી Term + બીજી Term. મતલબ ૨૬ = ૮ + બીજી Term. તો બીજી Term થઈ ૧૮. જ્યારે પહેલી Term ૮ અને બીજી ૧૮ હોય તો તફાવત થયો ૧૦. મતલબ આ પ્રશ્નનો જવાબ છે આ મુજબની શ્રેણીઃ ૮, ૧૮, ૨૮, ૩૮, ૪૮..... માટે જ પહેલો વિકલ્પ સાચો છે આમાં કોઈ અટપટું ગણિત? GCETની પરીક્ષા તો કેટલી મુશ્કેલ ગણાય છે! તો તેના પ્રશ્નોના જવાબ કાગળ પર પેન્સિલ અડાડયા વગર આપી શકાય? આપી જ શકાય, વળી આપણા Concepts સ્પષ્ટ હોય તો કાગળ - પેન્સિલનો નહીંવત્ પ્રયોગ કરીને પણ GCET જેવી પરીક્ષાના પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપી શકાય.
કોઈ પૂછે કે ૫, ૯, ૧૩, ૧૭, ૨૧, ૨૫, ૨૯ની શ્રેણીની સરેરાશ શું? દેખીતી રીતે આ શ્રેણી AP છે. તો તેની સરેરાશ કાઢવા મજૂરીનો શોખ હોય તે ૫ + ૯ + ૧૩ + ... ૨૯ નો સરવાળો કરે (જે ૧૧૯ થાય) અને તેનો ૭ વડે ભાગાકાર કરે અને તેનો જવાબ હોય ૧૧૯ લ ૭ = ૧૭. પણ જેને ગણિત કરતાં ગણતરીના ફાવટ વધુ હોય તેના માટે આવા પ્રશ્ન ખૂબ જ સરળ થઈ પડે. આપણે જાણ્યું કે જ્યારે AP ની પ્રથમ Term હ્લ હોય અને તફાવત D હોય ત્યારે તે શ્રેણી F, F + D, F + 2D, F + 3D, F + 4D... ... તેમ ચાલે. આ APની પહેલી પાંચ Termનો સરવાળો 5F + 10D થાય અને સરેરાશ (Average) F + 2D થાય. જો F + 2DLku બદલે છ (એટલે કે Average) લખીએ તો F, F + D, F + 2D, F + 3D, F + ૪ડ્ઢના બદલે આ શ્રેણી થાય A-2D, A - D, A, A + D અને A + 2D અને પહેલી અને છેલ્લી Termની સરેરાશ થાય છ એટલે કે F + 2D. વાર્તાનો સાર એ છે કે કોઈ પણ APની સરેરાશ કાઢવી હોય તો પહેલી Term અને છેલ્લી Termની જ સરેરાશ કાઢો તો પણ જવાબ એનો એ જ રહે અને નફામાં જબરદસ્ત મજૂરી બચી જાય.